Ortodiagonalni štirikotnik

Ortodiagonalni štirikotnik. Glede na opredelitev takšnih štirikotnikov imata dva rdeča kvadrata na nasprotnih stranicah štirikotnika enako skupno ploščino kot druga dva modra kvadrata na drugem paru nasprotnih stranic.

Ortodiagonálni štírikótnik je v ravninski geometriji štirikotnik, v katerem se njegovi dve diagonali sekata pod pravim kotom, kar pomeni, da sta daljici med nesosednjima ogliščema med seboj pravokotni.

Opredelitve

Za vsak ortodiagonalni štirikotnik je vsota kvadratov dveh nasprotnih stranic enaka vsoti kvadratov drugih dveh nasprotnih stranic. Za ortodiagonalni štirikotnik s stranicami a, b, c in d tako velja:

$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}\!\,.$

To sledi iz Pitagorovega izreka, po katerem lahko vsako od teh dveh vsot kvadratov razširimo v vsoto štirih kvadratov razdalj od oglišč štirikotnika do presečišča diagonal. Velja tudi obratno, vsak štirikotnik, za katerega velja zgornji izraz, je ortodiagonalen.

Posebni primeri

Poseben primer ortodiagonalnega štirikotnika je deltoid, kjer je ena diagonala tudi os simetrije lika. Deltoidi so ravno ortodiagonalni štirikotniki, kjer so vse stranice tudi tangente k včrtani krožnici, oziroma so tangentni ortodiagonalni štirikotniki. Tudi nekateri enakokraki trapezi so lahko ortodiagonalni.

Deltoidi z dvema notranjima nasprotnima pravima kotoma so tudi bicentrični. Za razliko od bicentričnih štirikotnikov obstajajo tudi ortogonalni štirikotniki, ki imajo samo en notranji pravi kot.

Romb je ortodiagonalni štirikotnik z dvema paroma vzporednih (in enakih) stranic, oziroma ortodiagonalni štirikotnik, ki je hkrati tudi paralelogram.

Kvadrat je mejni primer, tako deltoida, kot romba.

Ploščina

Ploščina ortodiagonalnega štirikotnika je enaka polovici produkta dolžin njegovih diagonal $f_{1}$ in $f_{2}$:

$p={\frac {f_{1}f_{2}}{2}}\!\,.$

Ortodiagonalni štirikotnik ima pri danih diagonalah največjo ploščino od vseh konveksnih štirikotnikov.

Druge značilnosti

• ortodiagonalni štirikotniki so edini štirikotniki pri katerih stranice in kota, ki ju tvorita diagonali, enolično ne določajo ploščine. Dva romba, (katerih diagonali tvorita pravi kot), z enakima dolžinama stranic a in z različnima notranjima ostrima kotoma imata na primer različni ploščini.

• v ortodiagonalnem štirikotniku imata daljici med razpoloviščema nasprotnih stranic enaki dolžini.

• središča kvadratov nad stranicami konveksnega štirikotnika tvorijo oglišča ortodiagonalnega štirikotnika z enakima dolžinama diagonal.

• štirikotnik, ki ga tvorijo razpolovišča stranic ortodiagonalnega štirikotnika, je pravokotnik.

Značilnosti tetivnih ortodiagonalnih štirikotnikov

• naj za tretivni ortogonalni štirikotnik presečišče diagonal razdeli eno diagonalo v dva dela z dolžinama p₁ in p₂, drugo diagonalo pa na dela z dolžinama q₁ in q₂. Potem, velja:

$p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}\!\,,$

kjer je R polmer očrtane krožnice. To velja, ker sta diagonali pravokotni tetivi krožnice. Srednja vrednost $p_{1}^{2},$ $p_{2}^{2},$ $q_{1}^{2},$ in $q_{2}^{2}$ je enaka $R^{2}$. Poleg tega iz enačb a² + c² = b² + d² = 4R² sledi, da je v tetivnem ortodiagonalnem štirikotniku vsota kvadratov stranic enaka osemkratnemu kvadratu polmera očrtane krožnice.

• po Brahmaguptovem izreku v tetivnem ortodiagonalnem štirikotniku pravokotnice iz presečišča diagonal na stranice razpolavljajo nasprotne stranice.

• v tetivnem ortodiagonalnem štirikotniku je razdalja od središča očrtane krožnice na katerokoli stranico enaka polovici dolžine nasprotne stranice.

• v tetivnem ortodiagonalnem štirikotniku razpolovišča stranic in presečišča pravokotnic iz razpolovišč stranic na nasprotne stranice ležijo na krožnici s središčem v težišču štirikotnika. Ta krožnica se imenuje krožnica osmih točk.

Viri

• Altshiller-Court, N. (2007). College Geometry. Dover Publications. Ponatis 2. izdaje, 1952, Barnes & Noble.
• Harries, J. (Julij 2002). »Area of a quadrilateral«. Mathematical Gazette. Zv. 86. str. 310–311.
• Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009). »Class preserving dissections of convex quadrilaterals« (PDF). Forum Geometricorum. Zv. 9. str. 195–211.
• Josefsson, Martin (2010). »Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral« (PDF). Forum Geometricorum. Zv. 10. str. 119–130.
• Mitchell, Douglas W. (2009). »The area of a quadrilateral«. Mathematical Gazette. Zv. 93. str. 306–309..
• Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). Challenging Problems in Geometry (2. izd.). Dover Publications. ISBN 0-486-69154-3.